[Measure Theory] 1강- Banach-Tarski Paradox

요즘 Measure theory에 대해서 공부하고있습니다.

공부하고있는 영상은 링크(Probability Primer)에서 확인하실 수 있습니다.

포스팅은 영상을 보고 공부한 내용들을 자체적인 요약정도로만 진행할 예정입니다.

1. Measure Theory

첫 강의에서는 현대 확률론은 Measure Theory 부터 시작을 하는데 Measure Theory가 무엇이고 어디에 좋고, 왜 해야하느냐? 대한 답을 Banach Tarski Paradox에 대해서 이야기하면서 Measure Theory의 중요성? 에 대해서 언급합니다.

Banach Tarski Paradox

Banach Tarski Paradox는 내용이 꽉 차있는 3차원의 Solid Ball을 finite한 조각들로 잘라서 이를 Rigid Transformation(Rotation, Translation 으로만 구성된 Transformation)만으로 원래의 3차원의 Solid Ball과 Size가 같은 2개의 3차원의 Ball을 만들 수있냐에 대한 수학적인 증명입니다. 다시 한번 정리해보자면 이렇습니다.

• 3차원의 Soild Ball이 존재
• 이를 유한한 조각들로 자름
• Rigid Transformation을 이용해서 재배열
• 재배열한 결과 2개의 3차원의 Solid Ball이 나옴
• 이 2개의 Solid Ball은 각각 원본의 3차원 Soild Ball과 크기가 같음

그냥 상식적으로 봤을 때는 말이 안되는 이야기지만 이를 2개의 기본적인 수학적인 가정을 통해서 해결했는데, 이 2개가 무엇이냐면

1. ZFC 공리계에서 선택 공리(axiom of choice)를 거부하는 것
2. 해당 set이 non-measurable일 경우

깊게 공부한 사람이 아니기 때문에..ㅠ ZFC 공리계나 선택 공리가 무엇인지 모르고, 다 모르겠지만 일단 도입부니까 그러려니 넘어가도록 하겠습니다. 해당 강의에서 중요한 가정은 2번 가정, "해당 set이 non-measurable"인 경우에는 원본의 size나 volume등을 측정할 수 없고, 다시 재배열 된 2개의 공도 size, volume등이 측정 될 수 없으므로 단순히 크기가 다르다, 혹은 같다라고 이야기할수 없는거 아니냐인 것 같습니다. 더 근원적으로 내려가버리면 측정할 수 없다면 해당 존재는 없다고 할 수 있는가 있다고 할 수 있는가에 대한 걸로 깊게 내려갈 수도 있을 거 같습니다.