[Measure Theory] 2강- Sigma-algebras

강의 자체가 한 강의당 10분 정도밖에 안되서 포스팅 자체를 짧게 진행하도록 하겠습니다.

1. Sigma-algebras

measure theory의 제일 첫번째 정의는 Sigma-algebra라고 합니다.

Sigma-algebra의 정의는 다음과 같습니다.

여기서 는 멱집합인데, 예를들어 일 때, 이 됩니다.

말 그대로 여집합에 닫혀있고, 셀수있는 합집합에 닫혀있어야된다는 이야기인데, 이에 대해서 강사가 몇가지 Remark를 해주는데, 아래와 같습니다.

1. Sigma-algebra의 기본 정의는 non-empty니까 공집합이 아닌 set이고, 여기서 E(Event)는 이러한 set의 collection member니까 이는 당연히 A에 속해있고 E의 여집합도 마찬가지입니다. 여기서 어떠한 특정한 E와 E의 여집합의 합은 당연히 set 자체가 되니까 이는 A 에 속합니다.
2. 공집합은 항상 A 에 속하는데, 이는 1번으로부터 알 수 있습니다. 만약 어떠한 set이 {1}이라면 이러한 set의 여집합은 당연히 공집합이 되기 때문입니다.
3. 어떠한 E의 시퀸스가 A에 속한다고 할 때, 어떠한 E에 대한 교집합을 다른 시퀸스 데이터로 부터 찾는다고 할 때는 자기자신 밖에 없을 겁니다. 이는 다른 시퀸스 E의 여집합의 합집합들을 다시 여지합해준 결과랑 같은데, 해당 강의에서는 드모르간 법칙(교집합의 여집합은 여집합의 합집합이다.)을 써서 뒤집은거 같습니다. 그냥 특정 E는 고유하니까 자기자신 밖에 없을 거고 이는 당연히 A에 속합니다. 하지만 이러한 형태의 변형은 다른 식의 응용문제를 풀 때, 유용할 듯 합니다.