[Signal processing & System] 복소수와 복소 지수 신호 :: Complex number and Complex Exponential Signal

이번 포스팅에서는 신호를 복소수의 형태로 나타내는 방법에 대해서 소개하겠습니다.

1. 복소수 :: Complex Number

복소수는 실수의 순서 쌍으로 나타날 수 있습니다.

복소수는 실수와 허수의 쌍이므로 두 가지 표현으로 다시 나누어서 표현할 수 있습니다.

• 실수부 (Real part)

• 허수부 (Imaginary part)

일반적으로 허수부 는 로 표기합니다.

따라서 복소수는 다음과 같은 형태로도 표현할 수 있습니다.

이러한 표현 방법을 복소수의 직교좌표형(Cartesian form)이라고 합니다.

복소수는 복소수 평면, 즉 복소평면(Complex plane)에서 점으로 표현할 수 있으며, 아래 그림과 같이 수평과 수직 좌표가 됩니다.

이를 벡터로 생각하면 복소수를 기하학적으로 다룰 수 있고, 극좌표형(polar form)으로 표현하면,

벡터의 길이 과 실수축과 이루는 각로 표현할 수 있습니다.

• 는 벡터의 길이로, 크기(magnitude)로 표현합니다.

• 는 각(argument)라고 합니다.
  

[복소 평면에서의 복소수 표면]

이러한 복소수의 극좌표형은 다음과 같은 수식 표현으로 다시 표현할 수 있습니다.

이러한 표현을 몇가지 이용하면, 더 간편한 수식 표현으로 나타낼 수 있는데, 그것이 바로 복소 지수 신호가 됩니다.

2. 복소 지수 신호

위의 복소수 극좌표형을 오일러::Euler 공식으로 다시 표현할 수 있습니다.

기본적인 오일러::Euler 공식 표현는 다음 공식과 같습니다.

이러한 오일러 표현을 복소수 극좌표형태의 개념에 대입하면 다음과 같이 표현할 수 있습니다.

최종적으로 우리는 이를 다음과 같이 표현할 수 있으며, 이를 복소 지수 신호라고 합니다.

이러한 복소 지수 신호를 이용하면, 우리는 코사인 신호를 표현할 수 있게됩니다.

3. 복소 지수 신호를 왜 사용하는가?

이러현 형태의 복소 지수 신호 사용하면, 지수의 특성으로 인해 신호간의 연산을 조금 더 편리하게 할 수 있습니다.

즉, 모든 삼각함수 계산이 지수의 산술적 연산으로 대체가 가능해집니다.

이러한 복소 지수 신호는 역 오일러 공식을 이용해 다른 복소수 형태로 표현이 될 수 있습니다.

먼저 역 오일러 공식을 살펴보겠습니다.

이러한 역 오일러 공식을 통해서 다른 형태의 복소 지수 신호의 표현을 얻을 수 있습니다.

여기서은 공액 복소수를 나타냅니다.